Les mathématiques pour les joueurs et les investisseurs

Comme l’a écrit Annie Duke, auteur et championne de poker, « chaque choix est un pari sur l’avenir ». En effet, si vous souhaitez améliorer votre prise de décision, votre processus d’investissement, tester vos distorsions cognitives et stimuler votre culture mathématique, vous pourriez apprécier mon résumé du mathématicien Catalin Barboianu.

Les mathématiques pour les joueurs (article abrégé)

Depuis son plus jeune âge, le mathématicien Catalin a toujours été fasciné par les jeux de hasard et par l’observation des probabilités « au travail ». Mais après avoir approfondi les mathématiques et leur philosophie, son intérêt pour ces jeux s’est évanoui : il les considérait comme de simples modèles mathématiques portant des vêtements étincelants. Au lieu de cela, il a ressenti le désir d’aider d’autres personnes à les voir de la même manière.

Pour Catalin, tous les jeux de hasard – qu’il s’agisse de jeux de casino tels que la roulette, le craps, le blackjack et les machines à sous, de loterie et de bingo, ou de jeux de cartes tels que le poker ou le bridge – reposent sur certains modèles statistiques et probabilistes de base. L’incertitude est intégrée dans les jeux, c’est ce qui les rend « amusants » et explique leur existence : un casino n’existerait pas si « la maison » n’était pas convaincue qu’elle gagnerait toujours à la fin.

Les mathématiques des jeux, y compris leurs règles et les calendriers de paiement, garantissent que la maison fera des bénéfices dans l’ensemble, quel que soit le comportement individuel.

En termes mathématiques, cette garantie s’exprime par le fait que le avantage de la maison (HE) d’un jeu est positif. La valeur attendue d’un pari (EV) est définie comme suit :

(probabilité de gagner) × (gain en cas de victoire) + (probabilité de perdre) × (perte en cas de défaite)

Le HE d’un jeu est défini comme le contraire de la valeur attendue calculée pour toutes les mises possibles (HE = -EV). Par exemple, à la roulette européenne, une roue tourne et vous devez décider où vous pensez qu’une petite boule va atterrir. Il y a 37 numéros (0 à 36). Si vous parier 1 dollar sur un seul numéro (appelée mise directe), le gain est de 35 fois ce que vous avez misé, et la probabilité de gagner est de 1/37. L’EV de ce pari est donc de

(1/37) × $35 + (36/37) × (-$1)

Il s’agit d’environ -$0.027 ou en pourcentage, 2,7 par de la mise initiale. L’EV peut être interprétée comme une moyenne ; dans notre exemple, vous pouvez vous attendre à perdre en moyenne 2,70 $ à chaque fois que l’EV est atteint. 100 pièces avec ce pari sur le long terme. Cela signifie que la roulette européenne a une marge de profit de 2,7 par cent. Il s’agit de la part de la maison dans tous les revenus produits par ce jeu sous forme de paris sur le long terme.

Les distorsions cognitives sont reconnues comme des facteurs de risque importants pour le jeu excessif.

Du point de vue d’un joueur, un avantage de la maison positif devrait signifier qu’il ne peut pas vivre de ce jeu: sur le long terme, la maison aura un avantage. C’est pourquoi un principe pragmatique de comportement sûr en matière de jeu est le suivant : « Lorsque vous faites un gain satisfaisant, prenez l’argent et sortez de là ».

Cependant, il y a ce que l’on appelle le « sophisme du joueur », qui consiste à croire qu’une série de mauvais jeux sera suivie d’un résultat gagnant pour que le hasard soit « rétabli ».

Il y a ensuite le sophisme de la conjonction, lorsque le joueur estime que la probabilité d’une combinaison d’événements est supérieure à la probabilité de l’un de ces événements. Par exemple, dans les paris sportifs, quelqu’un peut parier une fois sur plusieurs résultats « presque sûrs » se produisant ensemble, en pensant qu’il est probable que tous les équipes favorites de la maison gagneront – sans tenir compte du fait que le produit des probabilités de plusieurs victoires est un nombre nettement inférieur à la probabilité d’une victoire individuelle.

Une autre idée fausse concernant les jeux d’argent est l’ effet « manqué de peu », lorsqu’un résultat diffère légèrement d’un résultat gagnant, ce qui incite le joueur à penser qu’il était « si près du but » qu’il devrait réessayer. On pense ici aux machines à sous, aux cartes à gratter ou à la loterie, où ces événements sont les plus fréquents, mais pratiquement tous les jeux de hasard en produisent. L’effet de proximité implique une estimation incorrecte des probabilités, mais il est également lié à d’autres insuffisances conceptuelles concernant les probabilités conditionnelles et la dépendance temporelle. Dans ce cas, le joueur divise mentalement le résultat gagnant entre la partie « correspondante » et la partie « non correspondante » – une action qui n’est pas pertinente d’un point de vue mathématique – et développe une confiance excessive dans une nouvelle occurrence de la partie « correspondante » lors d’un prochain jeu. Cela ne tient pas compte de la probabilité réelle de l’apparition de la « partie non correspondante » et de la conjonction des deux événements prédits qui se produiraient à des moments différents ; le « si proche » est en fait « si loin » en termes de probabilité et de chiffres. Toutes ces distorsions cognitives sont reconnues comme des facteurs de risque importants pour le jeu problématique.

Les jeux d’argentexistent depuis l’Antiquité, mais au cours des 30 dernières années, ils ont connu une croissance spectaculaire, stimulée par l’internet et la mondialisation. Elle fait appel à une multitude de facteurs cognitifs, sociaux et psychobiologiques.

Le jeu problématique fait intervenir une chimie cérébrale complexe, car il stimule la libération de plusieurs neurotransmetteurs, dont la sérotonine et la dopamine, qui créent à leur tour des sensations de plaisir et l’envie de les maintenir. La sérotonine est connue comme l’hormone du bonheur et suit généralement un sentiment de libération du stress ou de la peur. La dopamine est associée à un plaisir intense, libérée lorsque nous sommes engagés dans des activités qui méritent une récompense et précisément lorsque cette récompense se produit.

Il y a une vingtaine d’années, plusieurs études ont été menées pour vérifier l’hypothèse selon laquelle l’enseignement des statistiques de base et de la théorie des probabilités appliquées aux joueurs compulsifs modifierait leur comportement. Dans l’ensemble, ces études ont donné des résultats contradictoires et non concluants, et certains ont constaté que l’enseignement des mathématiques n’entraînait aucun changement de comportement. Que manque-t-il donc ?

L’un desproblèmes est que les interventions visant à promouvoir la culture mathématique chez les joueurs font généralement passer le message que les joueurs devrait avoir une confiance inconditionnelle dans les mathématiques. Le problème des joueurs n’est pas tant un manque de confiance dans les mathématiques qu’une application et une interprétation incorrectes. Après tout, le joueur fait confiance aux mathématiques, mais elle les a simplement mal interprétées.

Les limites du conseil mathématique prennent tout leur sens lorsque l’on se rappelle que les mathématiques des événements du « monde réel » sont loin d’être des nombres purs ; elles prennent plutôt la forme de descriptions, de stratégies, de prédictions et d’attentes, toutes médiatisées par le langage et le sens. En faisant la distinction entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées, entre les vérités nécessaires et les vérités contingentes, et en constatant que nous mélangeons souvent nous-mêmes des termes mathématiques et non mathématiques, nous pourrions nous mettre sur la bonne voie pour corriger nos distorsions cognitives.

Aucun expert ou guide ne peut nous aider à cet égard. En effet, certaines des distorsions cognitives associées renvoient à de véritables débats philosophiques, tels que la signification du hasard, quelque chose qui n’est pas contrôlé et qui se déroule sans aucune règle. Les mathématiciens et les philosophes peinent à s’accorder sur une définition rigoureuse et universellement acceptée, malgré la place centrale qu’occupe ce concept dans la théorie des probabilités.

La complexité philosophique des mathématiques appliquées montre clairement qu’apprendre simplement à « faire confiance » aux mathématiques est une prescription naïve pour la dépendance au jeu. Les mathématiques appliquées impliquent l’établissement d’une équivalence entre le contexte empirique du monde réel (le domaine cible) et les structures mathématiques abstraites (le domaine source). Pour ce faire, nous avons besoin d’idéaliser le monde réel en l’éloignant du désordre grâce à des modèles. Après avoir « fait le calcul » à l’aide de la théorie mathématique dans le domaine source, les vérités mathématiques dérivées sont interprétées dans le domaine cible via nos modèles, où nous pouvons créer des prédictions, des représentations et des descriptions.

Les résultats de tout modèle mathématique dépendent de la langue pour l’interprétation et la validation empirique.

Lorsque nous appliquons des mathématiques abstraites et formelles à des situations empiriques telles que les jeux de hasard, nous nous appuyons en fin de compte sur le langage pour exprimer les relations nouvellement déduites comme des vérités. Cependant, ces « vérités » ne sont plus des vérités nécessaires ; elles dépendent des significations, des interprétations et du contexte. En tant que telles, ce sont des vérités contingentes. Si nous sommes trop zélés dans l’abstraction ou l’idéalisation de notre contexte empirique, ou si nous interprétons mal les vérités mathématiques dans le domaine cible, une telle modélisation peut conduire à des résultats erronés. Dans ce cas, ce ne sont pas les mathématiques pures qui sont en cause, mais l’ensemble du dispositif.

Tout cela montre que toute application des mathématiques est un équilibre entre la pertinence et la commodité – un choix, un raffinement et, enfin, une vérification par rapport au monde réel. Tout cela repose autant sur l’intuition du mathématicien ou du scientifique que sur la rigueur scientifique ou mathématique. Cette analyse montre clairement que nous ne devons pas faire aveuglément confiance aux mathématiques appliquées – ce qui ne veut pas dire que nous ne faisons pas confiance aux mathématiques pures qui les sous-tendent, mais simplement que nous devons être conscients de la place du langage et de l’interprétation.

Il en va de même pour les mathématiques des jeux de hasard. Qu’il s’agisse de décrire des jeux ou de faire des prédictions sur les paris, les résultats de tout modèle mathématique dépendent du langage pour l’interprétation et la validation empirique. Prenons l’exemple de l’affirmation suivante : « La fréquence relative de la présence d’un 1 sur le dé convergera vers 1/6 avec le nombre de lancers ». L’une des interprétations est l’expression du joueur qui dit : « Je m’attends à ce que ce numéro sorte environ une fois tous les six lancers » : Je m’attends à ce que ce numéro sorte environ une fois tous les six lancers ». Ici, « environ » signifie « en moyenne » ou « approximativement » – mais cette formulation ne reflète pas toute la signification mathématique de « converger », qui suppose une « probabilité ». infini série d’expériences pour que la limite soit approchée. En outre, c’est le relatif la fréquence (le rapport entre le nombre d’occurrences et le nombre d’expériences) qui s’approche de cette limite et non la fréquence absolue, qui semble être la référence des propos du joueur. Dans ce cas, nous pourrions dire que nous disposons d’un modèle médiocre en raison de l’interprétation et de la langue, et qu’il sera empiriquement invalidé lorsque le chiffre 1 apparaîtra deux fois de suite au cours d’une certaine période de temps.

Ce qui est peut-être le plus problématique pour les joueurs, c’est que les modèles statistiques sont fondés sur la théorie des probabilités, l’un des domaines des mathématiques les plus ouverts au débat philosophique. Le terme « probabilité » a plusieurs sens et significations. Vous pouvez l’envisager en termes de fréquence relative enregistrée de l’occurrence d’un événement, comme si une bille de roulette tombait sur un numéro rouge en 38 par cent des pièces au cours d’une période donnée. Vous pouvez également considérer qu’il s’agit du pourcentage de gain offert par le jeu (généralement appelé « cote du jeu », comme 3:2 pour les paris sur le résultat d’un match, ce qui se traduirait par une valeur de 40 par de probabilité de perdre). Vous pouvez aussi la percevoir comme une caractéristique physique du jeu en question, son potentiel interne à produire une certaine fréquence de résultats. Ainsi, si vous lancez une paire de dés encore et encore, et que vous notez que la paire 5 et 2 apparaît 150 fois en 3 000 parties, vous pouvez considérer qu’il s’agit d’une propriété du jeu, qui donne alors une « probabilité » dépendante du jeu, à savoir 5 par cent.

Toute la théorie des probabilités repose sur le concept de l’infini, alors que toutes nos expériences de jeu sont finies

Cependant, sa signification mathématique standard est la probabilité dite kolmogorovienne, une façon de mesurer la probabilité. Il existe cependant d’autres concepts de probabilité, tels que les probabilités inductives, propensives, subjectives, fréquentistes ou classiques (laplaciennes). Toutes ces versions sont également de nature mathématique – et il est peut-être surprenant de constater que les perceptions personnelles subjectives du concept de probabilité de nombreux joueurs correspondent plus ou moins à certains de ces concepts théoriques. D’autres termes statistiques peuvent également être importés et utilisés dans le langage ordinaire, tels que « espérance », « moyenne » ou « moyenne », avec leurs significations habituelles, non purement mathématiques.

La plus grande difficulté liée à l’utilisation de concepts mathématiques dans le contexte des jeux de hasard réside peut-être dans le fait que toute la théorie des probabilités repose sur l’idée de l’infini – Pourtant, toutes nos expériences de jeu sont limitées. Cette incohérence est à l’origine de nombreuses distorsions cognitives. Un exemple illustratif est le concept d’une événement: en mathématiques, c’est un élément formel d’un ensemble, qui n’a rien à voir avec la complexité de la signification d’un événement dans la vie réelle.

Dans l’ensemble, si nous pensons que les mathématiques peuvent apporter une quelconque solution aux joueurs compulsifs, nous devons être prudents. C’est certainement un atout cognitif important pour les joueurs que de savoir à quel point les résultats gagnants sont improbables – certains avec des probabilités proches de zéro, ce qui signifie qu’ils devraient jouer pendant plusieurs vies, parfois de l’ordre de milliers, pour s’approcher d’une probabilité de un. Néanmoins, il ne suffit souvent pas de « faire face aux aléas » ou d’apprendre à faire confiance aux mathématiques. Il ne suffit pas de renvoyer les joueurs « à l’école ». Ils doivent également faire confiance au rôle de la représentation et de la description dans les modèles mathématiques, tout en étant prudents lorsqu’ils interprètent les prédictions de la vie réelle obtenues à l’aide de ces modèles. Cela nécessite une connaissance approfondie des modèles et idéalisations qui sont adaptés à la réalité qu’ils tentent de décrire, et de ceux qui ne sont pas pertinents ou qui induisent en erreur. Comme il s’agit de la relation entre les mathématiques et la réalité, qui repose également sur le langage, la question relève de la philosophie des mathématiques et de la modélisation mathématique.

Parfois, la vérité n’est pas aussi simple que d’être validée ou invalidée par des preuves empiriques ou même des faits scientifiques. Parfois, elle trouve son origine dans la nature même des arguments que nous avançons, y compris le langage que nous utilisons pour les exprimer. Les mathématiques ont leur propre terminologie et les vérités des mathématiques appliquées sont sensibles à la manière dont nous les comprenons et les exprimons. Les distorsions cognitives associées aux jeux d’argent sont un exemple pertinent de ces vérités « sensibles ». Ce qui est remarquable, c’est que le fait de les combattre révèle quelque chose à la fois sur la nature des mathématiques et sur la nature de l’entendement humain – et que le fait de savoir quand pas Il est tout aussi important de savoir faire confiance aux mathématiques que de savoir quand leur faire confiance.

Source : Catalin Barboianu, Aeon